DEFINISI FUNGSI (DOMAIN , KODOMAIN , RANGE)

• Fungsi atau pemetaan adalah relasi khusus yang memasangkan setiap

anggota satu himpunan dengan tepat satu anggota satu himpunan yang lain.

Contoh Soal : Dari diagram-diagram panah berikut, manakah yang merupakan fungsi? Jawab : Diagram panah (a) merupakan fungsi karena setiap anggota A dipasangkan dengan tepat satu anggota B. Diagram panah (b) bukan merupakan fungsi karena ada anggota A, yaitu a, mempunyai dua pasangan anggota B, yaitu 1 dan 2. Diagram panah (c) bukan merupakan fungsi karena ada anggota A, yaitu a, tidak mempunyai pasangan anggota B

•  Domain, Kodomain, dan Range Fungsi
  

Perhatikan fungsi yang dinyatakan sebagai diagram panah pada gambar di samping. Pada fungsi tersebut, himpunan A disebut domain (daerah asal) dan himpunan B disebut kodomain (daerah kawan). Dari gambar tersebut, kamu juga memperoleh:

• 2  B merupakan peta dari 1  A
• 3  B merupakan peta dari 2  A
• 4  B merupakan peta dari 3  A

Himpunan peta tersebut dinamakan range (daerah hasil). Jadi, dari diagram panah pada Gambar 2.5 diperoleh:

• Domainnya (Df) adalah A = {1, 2, 3}.
• Kodomainnya adalah B = {1, 2, 3, 4}.
• Rangenya (Rf) adalah {2, 3, 4}.
  

Contoh Soal : Perhatikan diagram panah berikut. Diagram panah tersebut menunjukkan fungsi himpunan P ke himpunan Q dengan relasi "dua kali dari". Tentukanlah domain, kodomain, dan range fungsinya. Jawab : • Domainnya (Df) adalah P = {4, 6, 8, 10} • Kodomainnya adalah Q = {1, 2, 3, 4, 5} • Rangenya (Rf) adalah {2, 3, 4, 5}

• Grafik Fungsi

Perhatikan kembali Gambar 2.5 . Aturan yang memetakan himpunan A ke
himpunan B pada gambar tersebut adalah untuk setiap x anggota A dipetakan
ke (x + 1) anggota B. Suatu fungsi dinotasikan dengan huruf kecil, seperti f,
g, atau h. Jika fungsi pada Gambar 2.5 dinamakan f maka fungsi tersebut
dinotasikan dengan f: x  x + 1 (dibaca: fungsi f memetakan x ke x + 1).
Dengan demikian, pada pemetaan f: x  x + 1 dari himpunan A ke himpunan
B diperoleh.
Untuk x = 1, f: 1  1 + 1 atau f: 1  2 sehingga (1, 2)  f,
Untuk x = 2, f: 2  2 + 1 atau f: 2  3 sehingga (2, 3)  f,
Untuk x = 3, f: 3  3 + 1 atau f: 3  4 sehingga (3, 4)  f.
Untuk memudahkan cara menulis atau membaca, suatu pemetaan dapat dituliskan dalam bentuk tabel atau daftar. Untuk fungsi f : x  x + 1, tabelnya adalah sebagai berikut.

Dengan menggunakan pasangan-pasangan berurutan yang diperoleh pada Tabel 2.6 dapat digambar grafik Cartesius untuk fungsi f: x → x + 1 seperti tampak pada Gambar 2.6 . Gambar 2.6 merupakan grafik Carteius fungsi f: x → x + 1 dengan
domain Df = A = {1, 2, 3,}, kodomain B = {1, 2, 3, 4} dan Range Rf = {2, 3, 4} yang digambarkan dengan noktah-noktah. Jika domain dan kodomainnya diperluas pada himpunan bilangan riil, rangenya ditunjukkan dengan garis yang melalui noktah-noktah seperti pada Gambar 2.6.

Contoh Soal : Gambarlah grafik fungsi f: x → 2x pada bidang Cartesius dengan domain dan kodomainnya himpunan bilangan riil. Jawab : Terdapat beberapa langkah untuk menggambarkan suatu grafik fungsi, sebagai berikut. (1) Tentukan domainnya. Untuk memudahkan, ambil beberapa bilangan bulat di sekitar nol. (2) Buat tabel pasangan berurutan fungsi tersebut. (3) Gambarkan noktah-noktah pasangan berurutan tersebut pada bidang Cartesius. Kemudian, hubungkan noktah-noktah itu dengan garis lurus sehingga diperoleh grafik seperti pada gambar berikut.

• Menghitung Nilai Fungsi

1. Notasi Fungsi

Pada bagian sebelumnya, kamu telah mengetahui bahwa fungsi dinotasikan dengan huruf kecil, seperti f, g, atau h. Pada fungsi f dari himpunan A ke himpunan B, jika x  B maka peta atau bayangan x oleh f dinotasikan dengan f (x). Perhatikan Gambar 2.7 . Gambar tersebut menunjukkan fungsi himpunan A ke himpunan B menurut aturan f : x → 2x + 1. Pada gambar, dapat dilihat bahwa x merupakan anggota domain f. Fungsi f : x → 2x + 1 berarti fungsi f memetakan x ke 2x + 1. Oleh karena itu, bayangan x oleh fungsi f adalah  2x + 1. Jadi, dapat dikatakan bahwa f (x) = 2x + 1 adalah rumus untuk fungsi f.

Jika fungsi f : x → ax + b dengan x anggota domain f, rumus
fungsi f adalah f (x) = ax + b.

2. Menghitung Nilai Fungsi

Pada bagian ini, kamu akan mempelajari cara menghitung nilai fungsi. Pelajarilah contoh-contoh soal berikut.

Contoh Soal : Diketahui fungsi f: x → 2x – 2 pada himpunan bilangan bulat. Tentukan: a. f (1), b. f (2), c. bayangan (–2) oleh f, d. nilai f untuk x = –5, e. nilai x untuk f (x) = 8, f. nilai a jika f (a) = 14. Jawab : Diketahui f: x → 2x – 2 pada himpunan bilangan bulat. Dengan demikian rumus fungsinya f (x) = 2x –2. a. f (1) = 2 (1) – 2 = 0 b. f (2) = 2 (2) – 2 = 2 c. Bayangan (–2) oleh f sama dengan f (–2).     Jadi, f (–2) = 2 (–2) – 2 = –6 d. Nilai f untuk x = –5 adalah f (–5) = 2 (–5) – 2 = –12 e. Nilai x untuk f (x) = 8 adalah                      2x – 2 = 8                            2x = 8 + 2                            2x = 10                              x = 5 f. Nilai a jika f (a) = 14 adalah                 2a – 2 = 14                       2a = 14 + 2                       2a = 16                         a = 8 Contoh Soal : Diketahui g: x → x2 + 2 dengan domain {x | – 4 < x ≤ 2, x  bilangan bulat} dan kodomain bilangan bulat. a. Tuliskan rumus untuk fungsi g. b. Tuliskan domain g dengan mendaftar anggota-anggotanya. c. Tentukan daerah hasil g. d. Gambarlah grafik fungsi g jika domainnya { x | – 4 < x ≤ 1, x  bilangan riil}     dan kodomainnya diperluas pada himpunan bilangan riil. Jawab : a. Rumus untuk fungsi g adalah g(x) = x2 + 2 b. Domain g adalah Dg = { –3, –2, –1, 0, 1, 2} c. Daerah hasil g:     g(x) = x2 + 2    g (–3) = (–3)2 + 2 = 11    g (–2) = (–2)2 + 2 = 6    g (–1) = (–1)2 + 2 = 3    g (0) = (0)2 + 2 = 2    g (1) = (1)2 + 2 = 3    g (2) = (2)2 + 2 = 6    Jadi, daerah hasil g adalah Rg = {2, 3, 6, 11} d. Jika domainnya diketahui{ x | –4 < x ≤ 1, x     bilangan riil} dan kodomainnya diperluas    pada himpunan bilangan riil, grafiknya seperti    pada gambar di samping.

3. Menentukan Rumus fungsi

Suatu fungsi dapat ditentukan rumusnya jika nilai data diketahui. Bagaimanakah caranya? Untuk menjawabnya, pelajarilah contoh soal berikut.

Contoh Soal : Fungsi h pada himpunan bilangan riil ditentukan oleh rumus h(x) = a x + b, dengan a dan b bilangan bulat. Jika h (–2) = –4 dan h(1) = 5, tentukan: a. nilai a dan b, b. rumus fungsi tersebut. Jawab : h(x) = ax +b a. Oleh karena h(–2) = –4 maka h(–2) = a(–2) + b = –4                                                      –2a + b = –4 …(1)                                   h(1) = 5 maka h(1) = a (1) + b = 5                                                         a + b = 5                                                                b = 5 – a …(2)     Substitusikan persamaan (2) ke persamaan (1), diperoleh:     –2a + b = –4     –2a + (5 – a) = –4       –2a + 5 – a = –4             –3a + 5 = –4                    –3a = –9                       a = 3    Substitusikan nilai a = 3 ke persamaan (2), diperoleh     b = 5 – a        = 5 – 3 = 2    Jadi, nilai a sama dengan 3 dan nilai b sama dengan 2. b. Oleh karena nilai a = 3 dan nilai b = 2, rumus fungsinya adalah h(x) = 3x + 2.