Pernyataan dan Bukan Pernyataan, Negasi, Implikasi, Tautologi dan Kontradiksi

1. Kalimat pernyataan atau bukan pernyataan

Dalam matematika dikenal dua jenis kalimat yaitu kalimat tertutup (bukan pernyataan) atau kalimat terbuka (pernyataan)

1. kalimat terbuka / bukan pernyataan

kalimat terbuka ialah suatu kalimat yang memuat variable, nilai kebenarannya belum dapat ditentukan, apabila bernilai salah atau benar.

Contah:

X adalah factor dari 15

P adalah bilangan rasional

Buktikan bahwa sin²x + cos²x = 1

2.kalimat tertutup/ bukan pernyataan

pernyataan adalah suatu kalimat yang dapat ditentukan nilai kebenarannya, yaitu benar atau salah, tetapi tidak dapat terjadi benar atau salah bersamaan.

Untuk menentukan nilai kebenaran suatu pernyataan ada dua dasar, yaitu:

A. Dasar empiris

kebenaran suatu pernyataanditentukan pada saat itu. Beasanya diadakan pengamataan lebih dahulu. Jadi, nilai kebenarannya bersifat relative

contoh:

• budi sakit perut
• bapak kepala sekolah berambut putih
• kota Jakarta terkena bencana banjir

B. Dasar tak empiris

kebenaran suau pernyataan bersifat mutlak, tidak tergantung pada waktu dan tempat.

Contoh:

• 4 adalah bilangan genap
• setahun ada 12 bulan
• 3² = 9

2. Negasi

Dalam logika matematika , negasi atau ingkaran adalah operasi matematika terhadap suatu pernyataan baik tunggal maupun majemuk. Operasi negasi membalikkan nilai kebenaran suatu pernyataan. Jika suatu pernyataan p benar, maka negasinya p salah, dan jika sebaliknya pernyataan p salah, maka negasinya p benar

Contoh-

   P  : Hasil ulangan ilmu hitung keuangan budi adalah 9

~ p : Hasil ulangan ilmu hitung keuangan budi adalah bukan 9

Secara umum bahwa negasi suatu pernyataan adalah pernyataan lain yang bernilai salah, jika pernyataan awalnya bernilai benar dan akan bernilai benar jika awalanya bernilai salah.

3. Konjungsi

Konjungsi adalah cara menghubungkan dua pernyataan dengan menggunakan kata ‘atau’. Konjungsi bernilai salτah jika paling tidak ada salah satu pernyataan yang salah dan hanya bernilai benar jika semua pernyataan benar. Konjungsi dilambangkan dengan ∧

Contoh:

p: 1+1=2 (benar)

j: 4 adalah bilangan genap (Benar)

τ (p ∧ j) = Benar

p: 1+1=2 (Benar)

j: 5 adalah bilangan genap (Salah)

τ (p ∧ j) = Salah

4. Implikasi

Implikasi yang juga disebut pernyataan bersyarat/ kondisional adalah pernyataan yang disusun dari 2 pernyataan dengan bentuk jika … maka … . Implikasi dilambangkan dengan ⇒. Implikasi tidak berlaku sebaliknya (p⇒q tidak sama dengan q⇒p).

Pernyataan	p	q	p ⇒ q	q ⇒ p
	B	B	B	B
	B	S	S	B
	S	B	B	S
	S	S	B	B

5. Biimplikasi

Bimplikasi yang juga disebut pernyataan bersyarat/ kondisional adalah pernyataan yang disusun dari 2 pernyataan dengan bentuk … jika dan hanya jika … . Bimplikasi dilambangkan dengan ⇔. Tidak seperti implikasi, biimplikasi bersifat 2 arah/ bisa dibalik (p⇔q sama dengan q⇔p).

Pernyataan	p	q	p ⇔ q	q ⇔ p
	B	B	B	B
	B	S	S	S
	S	B	S	S
	S	S	B	B

Negasi, disjungsi, konjungsi, implikasi, dan biimplikasi juga dapat disatukan dalam suatu persoalan.

Contoh soal: Cari τ[~(p ∨ ~q)]

Pernyataan	p	q	p ⇒ q	(p ⇒ q) ^ p	{(p ⇒ q) ^ p}⇒ q
	B	B	B	B	B
	B	S	S	S	B
	S	B	B	S	B
	S	S	B	S	B

Maka τ[{(p ⇒ q) ^ p}⇒q] = B B B B

6. TAUTOLOGI

Tautologi adalah pernyataan majemuk yang selalu benar untuk semua kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan komponennya. Sebuah Tautologi yang memuat pernyataan Implikasi disebut Implikasi Logis. Untuk membuktikan apakah suatu pernyataan Tautologi, maka ada dua cara yang digunakan. Cara pertama dengan menggunakan tabel kebenaran, yaitu jika semua pilihan bernilai B (benar) maka disebut Tautologi, dan cara kedua yaitu dengan melakukan penjabaran atau penurunan dengan menerapkan sebagian dari 12 hukum-hukum Ekuivalensi Logika.

Contoh tautologi dengan menggunakan tabel kebenaran:

1.      (p ʌ~q) p

Pembahasan:

p	q	~q	(p ʌ~q)	(p ʌ ~q) p
B B S S	B S B S	S B S B	S B S S	B B B B

Ini adalah tabel kebenaran yang menunjukkan Tautologi dengan alasan yaitu semua pernyataannya bersifat benar atau True (T). maka dengan perkataan lain pernyataan majemuk (p ʌ ~q) p selalu benar.

7. KONTRADIKSI

Kontradiksi adalah kebalikan dari tautologi yaitu suatu bentuk pernyataan yang hanya mempunyai contoh substansi yang salah, atau sebuah pernyataan majemuk yang salah dalam segala hal tanpa memandang nilai kebenaran dari komponen-komponennya. Untuk membuktikan apakah suatu pernyataan tersebut kontradiksi, maka ada dua cara yang digunakan. Cara pertama dengan menggunakan tabel kebenaran, yaitu jika semua pilihan bernilai F atau salah maka disebut kontradiksi, dan cara kedua yaitu dengan melakukan penjabaran atau penurunan dengan menerapkan sebagian dari 12 hukum-hukum Ekuivalensi Logika.[1][4][4]

Contoh dari Kontradiksi:

1.      (A ʌ~A)

Pembahasan:

A	~A	(A ʌ~A)
B S	S B	S S

Dari tabel kebenaran diatas dapatlah disimpulkan bahwa pernyataan majemuk (A ʌ~A) selalu salah.

2.      P ʌ (~p ʌ q)

Pembahasan:

p	q	~p	(~p ʌ q)	P ʌ (~p ʌ q)
B B S S	B S B S	S S B B	S S B S	S S S S

Ini adalah tabel kebenaran yang menunjukkan kontradiksi dengan alasan yaitu semua pernyataan bernilai salah (F).