• Fungsi atau pemetaan adalah relasi khusus yang memasangkan setiap

anggota satu himpunan dengan tepat satu anggota satu himpunan yang lain.

Contoh Soal : Dari diagram-diagram panah berikut, manakah yang merupakan fungsi? Jawab : Diagram panah (a) merupakan fungsi karena setiap anggota A dipasangkan dengan tepat satu anggota B. Diagram panah (b) bukan merupakan fungsi karena ada anggota A, yaitu a, mempunyai dua pasangan anggota B, yaitu 1 dan 2. Diagram panah (c) bukan merupakan fungsi karena ada anggota A, yaitu a, tidak mempunyai pasangan anggota B

•  Domain, Kodomain, dan Range Fungsi
  

Perhatikan fungsi yang dinyatakan sebagai diagram panah pada gambar di samping. Pada fungsi tersebut, himpunan A disebut domain (daerah asal) dan himpunan B disebut kodomain (daerah kawan). Dari gambar tersebut, kamu juga memperoleh:

• 2  B merupakan peta dari 1  A
• 3  B merupakan peta dari 2  A
• 4  B merupakan peta dari 3  A

Himpunan peta tersebut dinamakan range (daerah hasil). Jadi, dari diagram panah pada Gambar 2.5 diperoleh:

• Domainnya (Df) adalah A = {1, 2, 3}.
• Kodomainnya adalah B = {1, 2, 3, 4}.
• Rangenya (Rf) adalah {2, 3, 4}.
  

Contoh Soal : Perhatikan diagram panah berikut. Diagram panah tersebut menunjukkan fungsi himpunan P ke himpunan Q dengan relasi "dua kali dari". Tentukanlah domain, kodomain, dan range fungsinya. Jawab : • Domainnya (Df) adalah P = {4, 6, 8, 10} • Kodomainnya adalah Q = {1, 2, 3, 4, 5} • Rangenya (Rf) adalah {2, 3, 4, 5}

• Grafik Fungsi

Perhatikan kembali Gambar 2.5 . Aturan yang memetakan himpunan A ke
himpunan B pada gambar tersebut adalah untuk setiap x anggota A dipetakan
ke (x + 1) anggota B. Suatu fungsi dinotasikan dengan huruf kecil, seperti f,
g, atau h. Jika fungsi pada Gambar 2.5 dinamakan f maka fungsi tersebut
dinotasikan dengan f: x  x + 1 (dibaca: fungsi f memetakan x ke x + 1).
Dengan demikian, pada pemetaan f: x  x + 1 dari himpunan A ke himpunan
B diperoleh.
Untuk x = 1, f: 1  1 + 1 atau f: 1  2 sehingga (1, 2)  f,
Untuk x = 2, f: 2  2 + 1 atau f: 2  3 sehingga (2, 3)  f,
Untuk x = 3, f: 3  3 + 1 atau f: 3  4 sehingga (3, 4)  f.
Untuk memudahkan cara menulis atau membaca, suatu pemetaan dapat dituliskan dalam bentuk tabel atau daftar. Untuk fungsi f : x  x + 1, tabelnya adalah sebagai berikut.

Dengan menggunakan pasangan-pasangan berurutan yang diperoleh pada Tabel 2.6 dapat digambar grafik Cartesius untuk fungsi f: x → x + 1 seperti tampak pada Gambar 2.6 . Gambar 2.6 merupakan grafik Carteius fungsi f: x → x + 1 dengan
domain Df = A = {1, 2, 3,}, kodomain B = {1, 2, 3, 4} dan Range Rf = {2, 3, 4} yang digambarkan dengan noktah-noktah. Jika domain dan kodomainnya diperluas pada himpunan bilangan riil, rangenya ditunjukkan dengan garis yang melalui noktah-noktah seperti pada Gambar 2.6.

Contoh Soal : Gambarlah grafik fungsi f: x → 2x pada bidang Cartesius dengan domain dan kodomainnya himpunan bilangan riil. Jawab : Terdapat beberapa langkah untuk menggambarkan suatu grafik fungsi, sebagai berikut. (1) Tentukan domainnya. Untuk memudahkan, ambil beberapa bilangan bulat di sekitar nol. (2) Buat tabel pasangan berurutan fungsi tersebut. (3) Gambarkan noktah-noktah pasangan berurutan tersebut pada bidang Cartesius. Kemudian, hubungkan noktah-noktah itu dengan garis lurus sehingga diperoleh grafik seperti pada gambar berikut.

• Menghitung Nilai Fungsi

1. Notasi Fungsi

Pada bagian sebelumnya, kamu telah mengetahui bahwa fungsi dinotasikan dengan huruf kecil, seperti f, g, atau h. Pada fungsi f dari himpunan A ke himpunan B, jika x  B maka peta atau bayangan x oleh f dinotasikan dengan f (x). Perhatikan Gambar 2.7 . Gambar tersebut menunjukkan fungsi himpunan A ke himpunan B menurut aturan f : x → 2x + 1. Pada gambar, dapat dilihat bahwa x merupakan anggota domain f. Fungsi f : x → 2x + 1 berarti fungsi f memetakan x ke 2x + 1. Oleh karena itu, bayangan x oleh fungsi f adalah  2x + 1. Jadi, dapat dikatakan bahwa f (x) = 2x + 1 adalah rumus untuk fungsi f.

Jika fungsi f : x → ax + b dengan x anggota domain f, rumus
fungsi f adalah f (x) = ax + b.

2. Menghitung Nilai Fungsi

Pada bagian ini, kamu akan mempelajari cara menghitung nilai fungsi. Pelajarilah contoh-contoh soal berikut.

Contoh Soal : Diketahui fungsi f: x → 2x – 2 pada himpunan bilangan bulat. Tentukan: a. f (1), b. f (2), c. bayangan (–2) oleh f, d. nilai f untuk x = –5, e. nilai x untuk f (x) = 8, f. nilai a jika f (a) = 14. Jawab : Diketahui f: x → 2x – 2 pada himpunan bilangan bulat. Dengan demikian rumus fungsinya f (x) = 2x –2. a. f (1) = 2 (1) – 2 = 0 b. f (2) = 2 (2) – 2 = 2 c. Bayangan (–2) oleh f sama dengan f (–2).     Jadi, f (–2) = 2 (–2) – 2 = –6 d. Nilai f untuk x = –5 adalah f (–5) = 2 (–5) – 2 = –12 e. Nilai x untuk f (x) = 8 adalah                      2x – 2 = 8                            2x = 8 + 2                            2x = 10                              x = 5 f. Nilai a jika f (a) = 14 adalah                 2a – 2 = 14                       2a = 14 + 2                       2a = 16                         a = 8 Contoh Soal : Diketahui g: x → x2 + 2 dengan domain {x | – 4 < x ≤ 2, x  bilangan bulat} dan kodomain bilangan bulat. a. Tuliskan rumus untuk fungsi g. b. Tuliskan domain g dengan mendaftar anggota-anggotanya. c. Tentukan daerah hasil g. d. Gambarlah grafik fungsi g jika domainnya { x | – 4 < x ≤ 1, x  bilangan riil}     dan kodomainnya diperluas pada himpunan bilangan riil. Jawab : a. Rumus untuk fungsi g adalah g(x) = x2 + 2 b. Domain g adalah Dg = { –3, –2, –1, 0, 1, 2} c. Daerah hasil g:     g(x) = x2 + 2    g (–3) = (–3)2 + 2 = 11    g (–2) = (–2)2 + 2 = 6    g (–1) = (–1)2 + 2 = 3    g (0) = (0)2 + 2 = 2    g (1) = (1)2 + 2 = 3    g (2) = (2)2 + 2 = 6    Jadi, daerah hasil g adalah Rg = {2, 3, 6, 11} d. Jika domainnya diketahui{ x | –4 < x ≤ 1, x     bilangan riil} dan kodomainnya diperluas    pada himpunan bilangan riil, grafiknya seperti    pada gambar di samping.

3. Menentukan Rumus fungsi

Suatu fungsi dapat ditentukan rumusnya jika nilai data diketahui. Bagaimanakah caranya? Untuk menjawabnya, pelajarilah contoh soal berikut.

Contoh Soal : Fungsi h pada himpunan bilangan riil ditentukan oleh rumus h(x) = a x + b, dengan a dan b bilangan bulat. Jika h (–2) = –4 dan h(1) = 5, tentukan: a. nilai a dan b, b. rumus fungsi tersebut. Jawab : h(x) = ax +b a. Oleh karena h(–2) = –4 maka h(–2) = a(–2) + b = –4                                                      –2a + b = –4 …(1)                                   h(1) = 5 maka h(1) = a (1) + b = 5                                                         a + b = 5                                                                b = 5 – a …(2)     Substitusikan persamaan (2) ke persamaan (1), diperoleh:     –2a + b = –4     –2a + (5 – a) = –4       –2a + 5 – a = –4             –3a + 5 = –4                    –3a = –9                       a = 3    Substitusikan nilai a = 3 ke persamaan (2), diperoleh     b = 5 – a        = 5 – 3 = 2    Jadi, nilai a sama dengan 3 dan nilai b sama dengan 2. b. Oleh karena nilai a = 3 dan nilai b = 2, rumus fungsinya adalah h(x) = 3x + 2.

• Bilangan adalah suatu konsep matematika yang digunakan untuk pencacahan dan pengukuran. Simbol ataupun lambang yang digunakan untuk mewakili suatu bilangan disebut sebagai angka atau lambang bilangan. Dalam matematika, konsep bilangan selama bertahun-tahun lamanya telah diperluas untuk meliputi bilangan nol, bilangan negatif, bilangan rasional, bilangan irasional, dan bilangan kompleks.

• Himpunan adalah kumpulan dari objek-objek tertentu yang tercakup dalam satu kesatuan dengan keterangan yang jelas. Untuk menyatakan suatu himpunan digunakan huruf kapital A, B, C, … sedangkan untuk menyatakan anggotanya digunakan huruf kecil a, d, c, …

Terdapat 4 cara untuk menyatakan suatu himpunan :

1. Enumerasi, yaitu dengan mendaftarkan semua anggotanya yang diletakan didalam sepasang tanda kurung kurawal dan diantara setiap anggotanya dipisahkan dengan tanda koma. Contoh : A = {a, i, u, e, o}.
2. Simbol baku, yaitu dengan menggunakan simbol tertentu yang telah disepakati. Contoh : P adalah himpunan bilangan bulat positif dan R adalah himpunan bilangan riil.
3. Notasi pembentukan himpunan, yaitu denganmenuliskan ciri-ciri umum atau sifat-sifat umum dari anggota. Contoh : A = {x|x adalah himpunan bilangan bulat positif}
4. Diagram venn, yaitu dengan menyajikan himpunan secara grafis dengan tiap-tiap himpunan digambarkan sebagai lingkaran dan memiliki himpunan semesta yang digambarkan dengan segi empat. Contoh :

Untuk lebih memahami diagram venn berikut ini beberapa contoh diagram venn

 


 

• Operasi Himpunan dalam diagram venn

• Hukum dan Sifat-sifat Operasi Himpunan

•  Jenis-jenis himpunan

•  Perkalian Himpunan ( Cartesian Product )

Jika kita menemukan soal tentang perkalian himpunan kita dapat mengerjakan seperti contoh berikut :
Notasi:
A x B = …???
A = {a,b,c}
B = {p,q}
A x B = {(a,p),(a,q),(b,p),(b,q),(c,p),(c,q)}
Catatan:
(a,b) = (a,b)
(a,b) K (b,a)

Perkembangan Ilmu Pengetahuan dan Teknology atau IPTEk telah berkembang pesat dan melaju terus kedepan, dalam sebuah perkembanganya tentu banyak respon dan berakibat pada berbagai bidang di segi kehidupan. Begitupun dengan telah ditemukannya formulasi-formulasi baru aneka kapasitas komputer, seolah sudah mampu menggeser posisi kemampuan otak manusia dalam berbagai bidang ilmu dan aktivitas manusia. Setiap inovasi diciptakan untuk memberikan manfaat positif bagi kehidupan manusia. Memberikan banyak kemudahan, serta sebagai cara baru dalam melakukan aktifitas manusia. Khusus dalam bidang teknologi masyarakat sudah menikmati banyak manfaat yang dibawa oleh inovasi-inovasi yang telah dihasilkan dalam dekade terakhir ini. Namun manusia tiudak bisa menipu diri sendiri akan kenyataan bahwa teknologi mendatangkan berbagai efek negatif bagi manusia.

Dampak IPTEK dalam bidang Ekonomi dan Industri :

•   Manfaat Positif

a.Pertumbuhan ekonomi yang semakin tinggi
b. Terjadinya industrialisasi
c. Produktifitas dunia industri semakin meningkat

d. Persaingan dalam dunia kerja sehingga menuntut pekerja untuk selalu menambah skill dan pengetahuan yang dimiliki

•  Manfaat Negatif

1. terjadinya pengangguran bagi tenaga kerja yang tidak mempunyai kualifikasi yang sesuai dengan yang dibutuhkan

2.Sifat konsumtif sebagai akibat kompetisi yang ketat pada era globalisasi akan juga melahirkan generasi yang secara moral mengalami kemerosotan: konsumtif, boros dan memiliki jalan pintas yang bermental “instant”

Dampak IPTEK dalam bidang Sosial dan Budaya :

• Manfaat Positif

a.       Meningkatnya rasa percaya diri. 

b.      Tekanan, kompetisi yang tajam di berbagai aspek kehidupan sebagai konsekuensi globalisasi, akan melahirkan generasi yang disiplin, tekun dan pekerja keras.

• Manfaat Negatif

1.      Kemerosotan moral di kalangan warga masyarakat, khususnya di kalangan remaja dan pelajar

2.      Kenakalan dan tindak menyimpang di kalangan remaja semakin meningkat semakin lemahnya kewibawaan tradisi-tradisi yang ada di masyarakat

3.      Pola interaksi antar manusia yang berubah.

Dampak IPTEK dalam bidang Politik :

a. Timbulnya kelas menengah baru Pertumbuhan teknologi dan ekonomi di kawasan ini akan mendorong munculnya kelas menengah baru

b. Proses regenerasi kepemimpinan

c. Di bidang politik internasional, juga terdapat kecenderungan tumbuh berkembangnya regionalisme

Energi adalah kemampuan untuk melakukan kerja. Ditinjau dari perspektif fisika setiap system mengandung sejumlah energi. Banyak sekali macam-macam-macam energy salah satunya adalah energy surya atau energi matahari.

Energi surya adalah energi yang berupa sinar dan panas yang dipancarkan oleh matahari dalam bentuk elektromagnetik. Energi matahari telah dimanfaatkan di banyak belahan dunia dan jika diekspoitasi dengan tepat, energy ini berpotensi menyediakan kebutuhan konsumsi energi dunia saat ini dalam waktu yang lebih lama.

Energi matahari ini merupakan energi yang sangat besar karena tidak akan ada habisnya hingga akhir kehidupan nanti. Matahari akan selalu ada hingga akhir kehidupan dan energi matahari nantinya akan menjadi sumber energi yang paling terakhir yang akan digunakan oleh manusia.
Semua kehidupan di dunia ini bergantung pada energi surya, tanpa energi surya tidak akan ada kehidupan sama sekali. Bahkan bentuk kehidupan paling rendah seperti plankton dan mikroba perlu tenaga surya dalam bentuk sinar matahari untuk bertahan hidup. Pemanfaatan secara langsung dari tenaga surya ini sudah dilakukan sejak jaman prasejarah. Panas matahari dimanfaatkan untuk pengeringan hasil panen seperti padi, gandum, jagung dan kacang-kacangan, mengeringkan kulit binatang untuk pakaian dan lain-lain.

Ada banyak cara untuk memanfaatkan energy dari matahari. Tumbuhan mengubah sinar matahari menjadi energy kimia dengan proses fotosintesis. Bagaimanapun, istilah “tenaga surya” mempunyai arti mengubah sinar matahari secara langsung menjadi panas atau energy listrik untuk kegunaan kita. Ada dua tipe dasar tenaga matahari, yaitu sinar matahari dan photovoltaic. Photovoltaic adalah tenaga matahari yang melibatkan pembangkit listrik dari cahaya.

Sebagai sumber listrik matahari bisa dikonversi secara langsung dengan komponen solarcell yang merupakan komponen dari photovoltaic. Solarcell bekerja mengkonversi cahaya matahari yang menyinari permukaannya dan mengubahnya menjadi tegangan listrik. Dibutuhkan panel solarcell yang cukup banyak untuk menghasilkan energy listrik yang besar.  Energy listrik dari solarcell ini tidak bisa langsung digunakan , tegangan listrik dari solarcell disimpan dulu di baterai dan kemudian dikonversi menjadi arus bolak-balik (AC).

Pengumpulan panas matahari di atap rumah dapat menyediakan air panas. System panas matahari berdasarkan prinsip sederhana yang telah dikenal selama berabad-abad, yaitu matahari memanaskan air yang mengisi bejana gelap. Teknologi tenaga panas matahari yang ada di pasar saat ini sangat efisien dan bisa diandalkan, salah satunya dalah pemanas ait tenaga matahari atau solar water heater (swh) yang digunakan untuk memanaskan air dengan memanfaatkan tenaga sinar matahari. Komponen utama dari pemanas air tenaga matahari terdiri atas kolektor penyerap panas dan tangki penyimpanan.
Selain sebagai pemanas, tenaga matahari juga dapat digunakan sebagai pendingin. Mungkin kedengarannya aneh mendinginkan ruangan dengan sumber panas itu sendiri. Namun, dengan teknologi system solar thermal cooling hal ini sangat mungkin dilakukan. Pada proses ini, input energi panas matahari pada generator menggantikan input energi listrik pada kompresor. Penyerapan panas terjadi pada evaporator, sama dengan sistem konvensional dan pembuangan panas terjadi pada absorber dan kondenser. Dengan menggunakan sistem ini, energi listrik yang mahal dapat digantikan oleh panas matahari menggunakan proses kompresi.

Kayu yang mengeluarkan aroma khas itu biasa digunakan untuk pelengkap sesajen atau sarana ibadah tertentu. Tapi tahukah Anda, kemenyan juga dapat melawan kanker?

Sebelumnya, penelitian menunjukkan bahwa kemenyan dapat menyembuhkan peradangan pada sendi atau yang dikenal dengan rematik. Ia juga dipercaya dapat digunakan sebagai antidepresan, pencegah infeksi, dan stimulan imun tubuh.

Kini kemenyan dipuja sebagai salah satu keajaiban medis. Para ilmuwan dari Universitas Leicester menemukan bahwa ternyata kayu berbau aromatik tersebut dapat digunakan untuk mengobati kanker ovarium. Dalam penelitian mereka, para ilmuwan menemukan ada senyawa kimia dalam dupa yang bisa membunuh sel tumor yang ganas atau sulit ditangani.

Kanker ovarium stadium awal datang mengendap-endap seperti kucing dan biasanya sulit dideteksi. Sering kanker ovarium baru terdeteksi ketika memasuki stadium akhir yang sudah sangat membahayakan. Itulah mengapa kanker ovarium adalah salah satu kanker yang paling mematikan.

Setiap tahunnya, ada lebih dari 7.000 kasus kanker ovarium di Inggris. Sebanyak 4.300 wanita pengidap kanker ovarium meninggal karena penyakit itu. Menurut perhitungan, rata-rata jumlah kematian karena kanker ovarium adalah 12 wanita per hari. Kabar baiknya, para ilmuwan Universitas Leicester yakin bahwa kanker ovarium bisa diatasi dengan kemenyan.

Kemenyan adalah kayu yang berasal dari genus Boswellia, pohon kecil yang banyak ditejumpai di Oman, Yaman, dan Somalia. Pohon tersebut sudah sejak lama diketahui memiliki khasiat anti inflamasi dan biasa digunakan dalam pengobatan tradisional. Kini kayu yang mengeluarkan aroma wangi itu sedang diteliti sebagai salah satu pengobatan untuk kanker.

Pemanfaatan limbah yang ditimbulkan dari peternak sapi dengan menjadikan biogas dan pupuk kandang merupakan upaya untuk meningkatkan perekonomian warga. Terdapat Kelompok tani ternak di Sidomulyo yang aktif dan memiliki kandang serta ternak sapi banyak. Kotoran sapi dimanfaatkan untuk menghasilkan biogas dan pupuk kandang.Pelatihan ini di upayakan untuk mengurangi limbah dan bau dari kotoran sapi.
 Usaha ini bertujuian untuk peningkatan kemampuan untuk mengembangkan usaha tani ternak dan meningkatkan hasil produksi dan variasi produk yang diperoleh.

Saat ini tim peneliti sedang melakukan pendampingan berkaitan dengan pembuatan instalasi biogas dari limbah kotoran sapi di Kabupaten Bantul. Melihat latar belakang tim peneliti maka prospek keberhasilan dan keberlanjutan penelitian ini sangat besar. Tim peneliti sangat yakin bahwa kesuksesan penelitian ini akan memberikan dampak positif yang besar bagi pengembangan teknologi biogas terutama dalam hal kontribusi akan solusi pencemaran lingkungan dan kelangkaan energi. Teknologi biogas menjadi metode yang efektif dalam mengolah limbah organik yang berpotensi mencemari air dan tanah serta emisi gas metana yang berpotensi menyebabkan global warming (pemanasan global). Selain itu, teknologi ini mampu menghasilkan energi terbarukan dalam bentuk biogas yang dapat digunakan oleh masyarakat sebagai pengganti sumber energi saat ini yang berbasis minyak bumi dengan harga yang relatif murah. Oleh karena itu, penelitian ini sangat penting untuk dilakukan guna mewujudkan manfaat-manfaat tersebut.

Sinar matahari juga membantu menjaga suhu bumi tetap hangat. Sinar matahari yang dipancarkan ke permukaan bumi sebagian diserap dan sebagian lagi dipantulkan kembali ke atmosfer.

Sinar matahari yang dipantulkan dikenal pula sebagai radiasi inframerah yang ditangkap oleh ‘gas rumah kaca’ yang membantu menjaga atmosfer tetap hangat. Gas-gas rumah kaca antara lain terdiri dari karbon-monoksida, karbon-dioksida, metana, dan air-uap. Tanpa kehadiran gas-gas rumah kaca, suhu bumi akan menjadi lebih rendah dari 30° C, yang berarti tidak mungkin terdapat kehidupan di bumi.

Efek rumah kaca dapat dianggap sebagai suatu proses dimana alam mempertahankan keseimbangan di atmosfer. Namun, aktivitas manusia dalam seratus tahun terakhir telah menyebabkan peningkatan persentase gas rumah kaca di atmosfer, yang pada gilirannya meningkatkan suhu rata-rata di bumi.

Berikut adalah beberapa faktor yang menyebabkan efek rumah kaca :

  1. Penggundulan Hutan

Penggundulan menyebabkan tidak terdapat tumbuhan yang menyerap karbondioksida yang digunakan dalam proses fotosintesis.

2.     Bahan Bakar Fosil

Gas rumah kaca juga bisa dilepas ke atmosfer karena pembakaran bahan bakar fosil seperti minyak, batubara, dan gas.

3.     Peralatan Listrik

Contoh peralatan listrik penghasil gas rumah kaca adalah lemari es. Lemari es model lama menggunakan gas yang dikenal sebagai Chlorofluorocarbon (CFC).

Gas CFC yang terlepas ke atmosfer dapat berperan sebagai gas rumah kaca yang memicu peningkatan suhu bumi.

 4.     Pertumbuhan Penduduk

Dengan meningkatnya populasi terjadi pula peningkatan berbagai kebutuhan. Hal ini meningkatkan produksi dan proses industri yang menyebabkan peningkatan pelepasan gas industri yang mengkatalisis efek rumah kaca.

Mendung merupakan kumpulan uap dari air laut. Pada saat mendung, uap air yang berupa gas berubah menjadi zat cair. Pada proses ini menghasilkan kalor yang akan dikeluarkan ke udara. Mendung berada lebih rendah dari awan yang berwarna putih, makan semakin dekat mendung ke bumi panas akan semakin tinggi pula. Suhu dapat lebih tinggi bila sebelum mendung terjadi sinar matahari yang sangat terik, karena sebagai hasil dari akumulasi  pelepasan kalor oleh proses tersebut diatas dengan sisa panas yang dipancarkan bumi setelah menerima energi panas dari matahari.